Subdivision

Une subdivision (ou partage) de [a ;b], tel que a<b, est une famille (x_i)_0≤i≤n , avec n≥1 (entier), tel que a=x₁<…<x_n=b.

Exemple :

Soit l’intervalle [1 ;5].

{1 ; 2  ;3,5 ;4 ;4,68 ;5} est une subdivision de [1 ;5].

Le pas :

On note, d’abord, S l’ensemble de subdivision de [a ;b].

Soit s = (x_i)_0≤i≤n ∈ S, avec n≥1 (entier).

On appelle pas (ou module) de s le réel p(s) définie par : p(s)= avec n≥1 (entier).

Exemple :

Prenons le dernier exemple :

Soit s = { x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3,5; x₄ = 4; x₅ = 4,68 et x₆ = 5}.

p(s)=

= x₂ - x₁ = 2 – 1 = 1.

Relation d’ordre et lois internes:

∀ (s,s’) ∈ S, s<s’ ⇔ s’ est plus fine que s.

S est muni de deux lois internes qui sont ⋁ et ⋀.

Démonstration :

Soit F l’ensemble des parties finies de [a ;b] contenants a et b, et soit S.

θ : S → F est une bijection car chaque subdivision (x_i)_0≤i≤n de [a ;b], avec n≥1 (entier), est associé à un ensemble {a=x₁ ; … ; x_n=b} ∈ F.

Or F est naturellement muni par la relation d’ordre définie par l’inclusion et stable par la réunion et l’intersection.

La bijection de θ permet de transporter l’inclusion et les loi internes (⋃, ⋂) de F dans S.

Donc :

·        θ (s) ⊂ θ (s’) ⇔ s < s’.

·        θ ^-1(θ (s) ⋃ θ (s’))  ⇔ s ⋁ s’.

·        θ ^-1(θ (s) ⋂ θ (s’))  ⇔ s ⋀ s’.

Exemple :

Soit  

deux subdivisions de [0 ;1].

On a :

·        s < s’.

·        s ⋁ s’ = 

·        s ⋀ s’ = 

D’autre part si

 on ne peut pas comparer s et s’ par <.