Développement limité et parité

Si une fonction paire (respectivement impaire) admet un DL au voisinage de 0, alors ce DL est paire (respectivement impaire).

Démonstration :

On a : f(x) = a₀ + … + a_nxⁿ + o(xⁿ), avec n un entier.

·        Si f est paire ⇒ f(x) = f(-x).
⇒ a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ = a₀ - a₁x + a₂x² + … + (-1)ⁿa_nxⁿ.
Alors :
a₁ = - a₁ ⇒ a₁ = 0.
…
a_n = - a_n si n est impaire ⇒ a_n = 0 si n est impaire.
⇒ On conclut que tous les coefficients d’indice impaire sont nuls.
⇒ Le DL de f au voisinage de 0 est paire.

·        Si f est impaire ⇒ f(x) = -f(-x).
⇒ a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ = -a₀ + a₁x - a₂x² + … - (-1)ⁿa_nxⁿ.
Alors :
a₀ = - a₀ ⇒ a₀ = 0.
…
a_n = - a_n si n est paire ⇒ a_n = 0 si n est paire.
⇒ On conclut que tous les coefficients d’indice paire sont nuls.
⇒ Le DL de f au voisinage de 0 est impaire.

Exemple :

·        cos(x) est paire.
cos(x) = 1 – x²/2 + … + (-1)^n/2.(xⁿ/n !) + o(xⁿ) est le DL_n de cos(x) au voisinage de 0.
Ce DL est paire.

·        sin (x) est impaire.
cos(x) = x – x³/2 + … + (-1)^(n-1)/2.(xⁿ/n !) + o(xⁿ) est le DL_n de sin(x) au voisinage de 0.
Ce DL est impaire.