Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction de I dans R et a ∈ I. On dit que f admet un développement limité d’ordre n (entier) en a (noté DL_n) si : f(x) = f(a) + (x – a).f’(a) + ((x – a)²/2).f’’(a) + … + ((x – a)ⁿ/n !).f⁽ⁿ⁾(a) + o(xⁿ) = .

On Remarque que, si on pose x = a + h ⇒ h = x - a alors :

f(x) = f(a+h) = f(a) + h.f’(a) + (h²/2).f’’(a) + … + (hⁿ/n !).f⁽ⁿ⁾(a) + o(hⁿ) = 

.

Si f admet un dévloppement limité en a alors ce développement est unique.

Démonstration :

f peut s’écrire sous la forme : f(x) = 

.

On suppose que f(x) = R(x) + o(xⁿ) = Q(x) + o(xⁿ). avec:

On a :

a₁ = f(a) = b₁

…

⇒ ∀ 0≤i≤n a_i = b_i.

⇒ R(x) = Q(x).

⇒ Si f admet un développement limité en a alors ce DL est unique.

Exemple :

Soit f(x) = ln(1 + x).

On cherche le développent limité de f en 1 à l’ordre 4.

ln(1 + x) = ln(1) + (1/a).x + (-1/a²).(x²/2) + (2/a³).(x³/6) + (-6/a⁴).(x⁴/24) + o(x⁴)

= x + x²/2 – x³/3 + x⁴/4 + o(x⁴).