Une application e : [a ;b] → ℝ est
dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a1 ; … ;
an) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ1 ;
… ; λn) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]ai ;
ai+1[, e(x) = λi.
On note E(a ;b) l’ensemble des application en
escalier de [a ;b].
On dit que s est une subdivision adapté à e.
Exemple :
Soit la fonction en escalier f(x) = E(x) ∀ x ∈
[-2 ; 2].
Propriétés :
1. Si e ∈ E(a ;b) alors ∃ une
subdivision de [a ;b] adapté à e.
2. Si s est adapté à e alors toute subdivision plus fine que
s est aussi adapté à e.
3. L’ensemble de subdivision adapté à e ∈
E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de
subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les
point de discontinuité de e.
4. 1 ∈ E(a ;b).
5. ∀ (e1 ;e2) ∈ (E(a ;b))2, on a : e1
+ e2 ∈ E(a ;b) et e1e2
∈ E(a ;b).
6. ∀ e ∈ E(a ;b), |e| ∈ E(a ;b).
Demonstration:
1. Par definition: Une application e : [a ;b] → ℝ est
dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a1 ; … ;
an) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ1 ;
… ; λn) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]ai ;
ai+1[, e(x) = λi.
2. s = (a1 ; … ; an) est
adapté à e ⇒ ∃ (λ1 ; … ; λn), avec
n≥1 (entier), tel que ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]ai ;
ai+1[, e(x) = λi.
soit s’ = (a1 ; … ; ak ; c ; ak+1 ; … ; an) plus fine que s, avec 0 ≤ k ≤ n-1. Or ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]ai ; ai+1[, e(x) = λi ⇒ ∀ x ∈ ]ak ; ak+1[, e(x) = λk ⇒ ∀ x ∈ ]ak ; c[, e(x) = λk et ∀ x ∈ ]c ; ak+1 [, e(x) = λk ⇒ s’ est adapté à e.
soit s’ = (a1 ; … ; ak ; c ; ak+1 ; … ; an) plus fine que s, avec 0 ≤ k ≤ n-1. Or ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]ai ; ai+1[, e(x) = λi ⇒ ∀ x ∈ ]ak ; ak+1[, e(x) = λk ⇒ ∀ x ∈ ]ak ; c[, e(x) = λk et ∀ x ∈ ]c ; ak+1 [, e(x) = λk ⇒ s’ est adapté à e.
3. On raisonne par l’absurde :
On suppose que ∃ une subdivision adaptée à e, qui est plus petit que la subdivision formée par a, b et les point de discountés de e ⇒ ∃ i ∈ {1 ; … ; n-1} tel que ∀ x ∈ ]ai-1 ; ai+1[, e(x) = c ∈ ℝ. Or e n’est pas continue en ai donc e n’est pas constante sur ]ai-1 ; ai+1[ ⇒ absurdité.
Conclusion : L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.
On suppose que ∃ une subdivision adaptée à e, qui est plus petit que la subdivision formée par a, b et les point de discountés de e ⇒ ∃ i ∈ {1 ; … ; n-1} tel que ∀ x ∈ ]ai-1 ; ai+1[, e(x) = c ∈ ℝ. Or e n’est pas continue en ai donc e n’est pas constante sur ]ai-1 ; ai+1[ ⇒ absurdité.
Conclusion : L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.
4. f(x) = 1, ∀ x ∈ [a ; b], est une fonction constante donc f est
une fonction en escalier car ∀ x ∈ [a ; b], f(x) = 1.
5. Soit s’ la subdivision adapté à e1 et s’’ la
subdivision adapté à e2.
s’ = (a = a1 ; … ; an1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n1-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[,e1(x) = αi
s’’ = (a = b1 ; … ; bn2 = b).
∀ 0≤ i ≤ n2-1, ∀ x ∈ ] bi ; bi+1[,e2(x) = βi
s = s’ ⋁ s’’.
s = (a = c1 ; … ; cn = b).
s est plus fine que s’ et s” donc s est une subdivision adaptée à e1 et e2.
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, e1(x) = θi et e2(x) = ωi.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, (e1 + e2)(x) = θi + ωi = νi.
⇒ e1 + e2 est une fonction en escalier ⇒ e1 + e2 ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
D’autre part, ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, e1e2(x) = θiωi = ψi.
⇒ e1e2 est une fonction en escalier ⇒ e1e2 ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
s’ = (a = a1 ; … ; an1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n1-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[,e1(x) = αi
s’’ = (a = b1 ; … ; bn2 = b).
∀ 0≤ i ≤ n2-1, ∀ x ∈ ] bi ; bi+1[,e2(x) = βi
s = s’ ⋁ s’’.
s = (a = c1 ; … ; cn = b).
s est plus fine que s’ et s” donc s est une subdivision adaptée à e1 et e2.
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, e1(x) = θi et e2(x) = ωi.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, (e1 + e2)(x) = θi + ωi = νi.
⇒ e1 + e2 est une fonction en escalier ⇒ e1 + e2 ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
D’autre part, ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ci ; ci+1[, e1e2(x) = θiωi = ψi.
⇒ e1e2 est une fonction en escalier ⇒ e1e2 ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
6. Soit s la subdivion adaptée à e, avec s = (a = a1 ;
… ; an1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[, e(x) = λi.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[, |e|(x) = |λi|.
⇒ |e| ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à |e|.
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[, e(x) = λi.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] ai ; ai+1[, |e|(x) = |λi|.
⇒ |e| ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à |e|.
Exemple :
1. Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈
[-2 ; 2].
s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est une subdivision adaptée à f.
s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est une subdivision adaptée à f.
2. Prenons l’exemple (1) : s’ = (-2 ; -1 ;
0 ; 0,5 ; 1 ; 2) est plus fine que s. s’ est une subdivision
adaptée à f.
3. Prenons le même exemple : s = (-2 ; -1 ;
0 ; 1 ; 2) est la subdivision la plus petite ((pour l’ordre < dans
l’ensemble de subdivision de [-2 ;2]), qui est adaptée à f.
4. f(x) = 1, ∀ x ∈ [-2 ;2] est une fonction en escalier.
5. Soit f(x) = E(x) et g(x) = E(x) – 1 , ∀ x ∈
[-2 ;2].
(f+g)(x) = 2E(x) -1 est une fonction en escalier.
fg(x) = E²(x) – E(x) est une fonction en escalier.
(f+g)(x) = 2E(x) -1 est une fonction en escalier.
fg(x) = E²(x) – E(x) est une fonction en escalier.
6. Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈
[-2 ;2].
|f|(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f| est une fonction en escalier.
|f|(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f| est une fonction en escalier.
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