La différence entre un ensemble et une famille

Un ensemble est une collection ou un groupement d’objets distincts, appelés éléments de cet ensemble.

Exemple :

E = {a ;b ;c ;d}

E est un ensemble de 4 éléments.

a, b, c et d sont les éléments de E.

D’autre part, une famille est une application, d’un ensemble I d’indices vers un autre ensemble, qui à tout élément i ∈ I associait un élément, de l’ensemble d’arrivé, noté x_i et prononcé x d’indice i.

La différence entre l’ensemble image {x tel que ∃ i ∈  I, x = x_i} et un ensemble est que dans ce dernier, on ne répète pas les éléments, alors que dans la famille (x_i)_{i ∈ I}, il peut y avoir plusieurs fois le même élément si l’application n’est pas injective.

Exemple :

(x_i)_{i ∈ I} est une famille de 4 éléments qui sont x₁, x₂, x₃ et x₄.

Cet famille est une application de {1 ;2 ;3 ;4} vers { x₁ ;x₂;x₃;x₄}.