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Développement limité et parité

Si une fonction paire (respectivement impaire) admet un DL au voisinage de 0, alors ce DL est paire (respectivement impaire).

Démonstration :

On a : f(x) = a₀ + … + a_nxⁿ + o(xⁿ), avec n un entier.

·        Si f est paire ⇒ f(x) = f(-x).
⇒ a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ = a₀ - a₁x + a₂x² + … + (-1)ⁿa_nxⁿ.
Alors :
a₁ = - a₁ ⇒ a₁ = 0.
…
a_n = - a_n si n est impaire ⇒ a_n = 0 si n est impaire.
⇒ On conclut que tous les coefficients d’indice impaire sont nuls.
⇒ Le DL de f au voisinage de 0 est paire.

·        Si f est impaire ⇒ f(x) = -f(-x).
⇒ a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ = -a₀ + a₁x - a₂x² + … - (-1)ⁿa_nxⁿ.
Alors :
a₀ = - a₀ ⇒ a₀ = 0.
…
a_n = - a_n si n est paire ⇒ a_n = 0 si n est paire.
⇒ On conclut que tous les coefficients d’indice paire sont nuls.
⇒ Le DL de f au voisinage de 0 est impaire.

Exemple :

·        cos(x) est paire.
cos(x) = 1 – x²/2 + … + (-1)^n/2.(xⁿ/n !) + o(xⁿ) est le DL_n de cos(x) au voisinage de 0.
Ce DL est paire.

·        sin (x) est impaire.
cos(x) = x – x³/2 + … + (-1)^(n-1)/2.(xⁿ/n !) + o(xⁿ) est le DL_n de sin(x) au voisinage de 0.
Ce DL est impaire.

Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction de I dans R et a ∈ I. On dit que f admet un développement limité d’ordre n (entier) en a (noté DL_n) si : f(x) = f(a) + (x – a).f’(a) + ((x – a)²/2).f’’(a) + … + ((x – a)ⁿ/n !).f⁽ⁿ⁾(a) + o(xⁿ) = .

On Remarque que, si on pose x = a + h ⇒ h = x - a alors :

f(x) = f(a+h) = f(a) + h.f’(a) + (h²/2).f’’(a) + … + (hⁿ/n !).f⁽ⁿ⁾(a) + o(hⁿ) = 

.

Si f admet un dévloppement limité en a alors ce développement est unique.

Démonstration :

f peut s’écrire sous la forme : f(x) = 

.

On suppose que f(x) = R(x) + o(xⁿ) = Q(x) + o(xⁿ). avec:

On a :

a₁ = f(a) = b₁

…

⇒ ∀ 0≤i≤n a_i = b_i.

⇒ R(x) = Q(x).

⇒ Si f admet un développement limité en a alors ce DL est unique.

Exemple :

Soit f(x) = ln(1 + x).

On cherche le développent limité de f en 1 à l’ordre 4.

ln(1 + x) = ln(1) + (1/a).x + (-1/a²).(x²/2) + (2/a³).(x³/6) + (-6/a⁴).(x⁴/24) + o(x⁴)

= x + x²/2 – x³/3 + x⁴/4 + o(x⁴).

Comment tracer une fonction en escalier avec Sine Qua non

1.     Lancer le logiciel.

2.     Cliquer sur «Définir une fonction ».

3.     Dans la case de « f1 (x) » ecrir : « int(x) » puis « ok ».

4.     Et voila :

Application en escalier

Une application e : [a ;b] → ℝ est dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a₁ ; … ; a_n) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ₁ ; … ; λ_n) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.

On note E(a ;b) l’ensemble des application en escalier de [a ;b].

On dit que s est une subdivision adapté à e.

Exemple :

Soit la fonction en escalier f(x) = E(x) ∀ x ∈ [-2 ; 2].

Propriétés :

1.     Si e ∈ E(a ;b) alors ∃ une subdivision de [a ;b] adapté à e.

2.     Si s est adapté à e alors toute subdivision plus fine que s est aussi adapté à e.

3.     L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.

4.     1 ∈ E(a ;b).

5.     ∀ (e₁ ;e₂) ∈ (E(a ;b))², on a : e₁  + e₂ ∈ E(a ;b) et e₁e₂ ∈ E(a ;b).

6.     ∀ e ∈ E(a ;b), |e| ∈ E(a ;b).

Demonstration:

1.     Par definition: Une application e : [a ;b] → ℝ est dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a₁ ; … ; a_n) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ₁ ; … ; λ_n) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.

2.     s = (a₁ ; … ; a_n) est adapté à e ⇒ ∃ (λ₁ ; … ; λ_n), avec n≥1 (entier), tel que ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.
soit s’ = (a₁ ; … ; a_k ; c ; a_k+1 ; … ; a_n) plus fine que s, avec 0 ≤ k ≤ n-1. Or ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i ⇒ ∀ x ∈ ]a_k ; a_k+1[, e(x) = λ_k ⇒  ∀ x ∈ ]a_k ; c[, e(x) = λ_k et ∀ x ∈ ]c ; a_k+1 [, e(x) = λ_k ⇒ s’ est adapté à e.

3.     On raisonne par l’absurde :
On suppose que ∃ une subdivision adaptée à e, qui est plus petit que la subdivision formée par a, b et les point de discountés de e ⇒ ∃ i ∈ {1 ; … ; n-1} tel que ∀ x ∈ ]a_i-1 ; a_i+1[, e(x) = c ∈ ℝ. Or e n’est pas continue en a_i donc e n’est pas constante sur ]a_i-1 ; a_i+1[ ⇒ absurdité.
Conclusion : L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.

4.     f(x) = 1, ∀ x ∈ [a ; b], est une fonction constante donc f est une fonction en escalier car ∀ x ∈ [a ; b], f(x) = 1.

5.     Soit s’ la subdivision adapté à e₁ et s’’ la subdivision adapté à e₂.
s’ = (a = a₁ ; … ; a_n1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n₁-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[,e₁(x) = α_i
s’’ = (a = b₁ ; … ; b_n2 = b).
∀ 0≤ i ≤ n₂-1, ∀ x ∈ ] b_i ; b_i+1[,e₂(x) = β_i
s = s’ ⋁ s’’.
s = (a = c₁ ; … ; c_n = b).
s est plus fine que s’ et s” donc s est une subdivision adaptée à e₁ et e₂.
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, e₁(x) = θ_i et e₂(x) = ω_i.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, (e₁ + e₂)(x) = θ_i + ω_i = ν_i.
⇒ e₁ + e₂ est une fonction en escalier ⇒ e₁ + e₂ ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
D’autre part, ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, e₁e₂(x) = θ_iω_i = ψ_i.
⇒ e₁e₂ est une fonction en escalier ⇒ e₁e₂ ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.

6.     Soit s la subdivion adaptée à e, avec s = (a = a₁ ; … ; a_n1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[, |e|(x) = |λ_i|.
⇒ |e| ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à |e|.

Exemple :

1.     Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ; 2].
s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est une subdivision adaptée à f.

2.     Prenons l’exemple (1) : s’ = (-2 ; -1 ; 0 ; 0,5 ; 1 ; 2) est plus fine que s. s’ est une subdivision adaptée à f.

3.     Prenons le même exemple : s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est la subdivision la plus petite ((pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [-2 ;2]), qui est adaptée à f.

4.     f(x) = 1, ∀ x ∈ [-2 ;2] est une fonction en escalier.

5.     Soit f(x) = E(x) et g(x) = E(x) – 1 , ∀ x ∈ [-2 ;2].
(f+g)(x) = 2E(x) -1 est une fonction en escalier.
fg(x) = E²(x) – E(x) est une fonction en escalier.

6.     Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f|(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f| est une fonction en escalier.

Subdivision

Une subdivision (ou partage) de [a ;b], tel que a<b, est une famille (x_i)_0≤i≤n , avec n≥1 (entier), tel que a=x₁<…<x_n=b.

Exemple :

Soit l’intervalle [1 ;5].

{1 ; 2  ;3,5 ;4 ;4,68 ;5} est une subdivision de [1 ;5].

Le pas :

On note, d’abord, S l’ensemble de subdivision de [a ;b].

Soit s = (x_i)_0≤i≤n ∈ S, avec n≥1 (entier).

On appelle pas (ou module) de s le réel p(s) définie par : p(s)= avec n≥1 (entier).

Exemple :

Prenons le dernier exemple :

Soit s = { x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3,5; x₄ = 4; x₅ = 4,68 et x₆ = 5}.

p(s)=

= x₂ - x₁ = 2 – 1 = 1.

Relation d’ordre et lois internes:

∀ (s,s’) ∈ S, s<s’ ⇔ s’ est plus fine que s.

S est muni de deux lois internes qui sont ⋁ et ⋀.

Démonstration :

Soit F l’ensemble des parties finies de [a ;b] contenants a et b, et soit S.

θ : S → F est une bijection car chaque subdivision (x_i)_0≤i≤n de [a ;b], avec n≥1 (entier), est associé à un ensemble {a=x₁ ; … ; x_n=b} ∈ F.

Or F est naturellement muni par la relation d’ordre définie par l’inclusion et stable par la réunion et l’intersection.

La bijection de θ permet de transporter l’inclusion et les loi internes (⋃, ⋂) de F dans S.

Donc :

·        θ (s) ⊂ θ (s’) ⇔ s < s’.

·        θ ^-1(θ (s) ⋃ θ (s’))  ⇔ s ⋁ s’.

·        θ ^-1(θ (s) ⋂ θ (s’))  ⇔ s ⋀ s’.

Exemple :

Soit  

deux subdivisions de [0 ;1].

On a :

·        s < s’.

·        s ⋁ s’ = 

·        s ⋀ s’ = 

D’autre part si

 on ne peut pas comparer s et s’ par <.

La différence entre un ensemble et une famille

Un ensemble est une collection ou un groupement d’objets distincts, appelés éléments de cet ensemble.

Exemple :

E = {a ;b ;c ;d}

E est un ensemble de 4 éléments.

a, b, c et d sont les éléments de E.

D’autre part, une famille est une application, d’un ensemble I d’indices vers un autre ensemble, qui à tout élément i ∈ I associait un élément, de l’ensemble d’arrivé, noté x_i et prononcé x d’indice i.

La différence entre l’ensemble image {x tel que ∃ i ∈  I, x = x_i} et un ensemble est que dans ce dernier, on ne répète pas les éléments, alors que dans la famille (x_i)_{i ∈ I}, il peut y avoir plusieurs fois le même élément si l’application n’est pas injective.

Exemple :

(x_i)_{i ∈ I} est une famille de 4 éléments qui sont x₁, x₂, x₃ et x₄.

Cet famille est une application de {1 ;2 ;3 ;4} vers { x₁ ;x₂;x₃;x₄}.