Application en escalier

Une application e : [a ;b] → ℝ est dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a₁ ; … ; a_n) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ₁ ; … ; λ_n) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.

On note E(a ;b) l’ensemble des application en escalier de [a ;b].

On dit que s est une subdivision adapté à e.

Exemple :

Soit la fonction en escalier f(x) = E(x) ∀ x ∈ [-2 ; 2].

Propriétés :

1.     Si e ∈ E(a ;b) alors ∃ une subdivision de [a ;b] adapté à e.

2.     Si s est adapté à e alors toute subdivision plus fine que s est aussi adapté à e.

3.     L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.

4.     1 ∈ E(a ;b).

5.     ∀ (e₁ ;e₂) ∈ (E(a ;b))², on a : e₁  + e₂ ∈ E(a ;b) et e₁e₂ ∈ E(a ;b).

6.     ∀ e ∈ E(a ;b), |e| ∈ E(a ;b).

Demonstration:

1.     Par definition: Une application e : [a ;b] → ℝ est dite en escalier s’il existe une subdivision s = (a₁ ; … ; a_n) de [a ;b], tel que n≥1 (entier), et (λ₁ ; … ; λ_n) tel que, ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.

2.     s = (a₁ ; … ; a_n) est adapté à e ⇒ ∃ (λ₁ ; … ; λ_n), avec n≥1 (entier), tel que ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.
soit s’ = (a₁ ; … ; a_k ; c ; a_k+1 ; … ; a_n) plus fine que s, avec 0 ≤ k ≤ n-1. Or ∀ 0 ≤ i ≤ n-1 , ∀ x ∈ ]a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i ⇒ ∀ x ∈ ]a_k ; a_k+1[, e(x) = λ_k ⇒  ∀ x ∈ ]a_k ; c[, e(x) = λ_k et ∀ x ∈ ]c ; a_k+1 [, e(x) = λ_k ⇒ s’ est adapté à e.

3.     On raisonne par l’absurde :
On suppose que ∃ une subdivision adaptée à e, qui est plus petit que la subdivision formée par a, b et les point de discountés de e ⇒ ∃ i ∈ {1 ; … ; n-1} tel que ∀ x ∈ ]a_i-1 ; a_i+1[, e(x) = c ∈ ℝ. Or e n’est pas continue en a_i donc e n’est pas constante sur ]a_i-1 ; a_i+1[ ⇒ absurdité.
Conclusion : L’ensemble de subdivision adapté à e ∈ E(a ;b) admet un plus petit élément (pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [a ;b]), qui est la subdivision formée par a, b et les point de discontinuité de e.

4.     f(x) = 1, ∀ x ∈ [a ; b], est une fonction constante donc f est une fonction en escalier car ∀ x ∈ [a ; b], f(x) = 1.

5.     Soit s’ la subdivision adapté à e₁ et s’’ la subdivision adapté à e₂.
s’ = (a = a₁ ; … ; a_n1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n₁-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[,e₁(x) = α_i
s’’ = (a = b₁ ; … ; b_n2 = b).
∀ 0≤ i ≤ n₂-1, ∀ x ∈ ] b_i ; b_i+1[,e₂(x) = β_i
s = s’ ⋁ s’’.
s = (a = c₁ ; … ; c_n = b).
s est plus fine que s’ et s” donc s est une subdivision adaptée à e₁ et e₂.
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, e₁(x) = θ_i et e₂(x) = ω_i.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, (e₁ + e₂)(x) = θ_i + ω_i = ν_i.
⇒ e₁ + e₂ est une fonction en escalier ⇒ e₁ + e₂ ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.
D’autre part, ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] c_i ; c_i+1[, e₁e₂(x) = θ_iω_i = ψ_i.
⇒ e₁e₂ est une fonction en escalier ⇒ e₁e₂ ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à e.

6.     Soit s la subdivion adaptée à e, avec s = (a = a₁ ; … ; a_n1 = b).
∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[, e(x) = λ_i.
⇒ ∀ 0≤ i ≤ n-1, ∀ x ∈ ] a_i ; a_i+1[, |e|(x) = |λ_i|.
⇒ |e| ∈ E(a ; b) et s est la subdivision adaptée à |e|.

Exemple :

1.     Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ; 2].
s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est une subdivision adaptée à f.

2.     Prenons l’exemple (1) : s’ = (-2 ; -1 ; 0 ; 0,5 ; 1 ; 2) est plus fine que s. s’ est une subdivision adaptée à f.

3.     Prenons le même exemple : s = (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2) est la subdivision la plus petite ((pour l’ordre < dans l’ensemble de subdivision de [-2 ;2]), qui est adaptée à f.

4.     f(x) = 1, ∀ x ∈ [-2 ;2] est une fonction en escalier.

5.     Soit f(x) = E(x) et g(x) = E(x) – 1 , ∀ x ∈ [-2 ;2].
(f+g)(x) = 2E(x) -1 est une fonction en escalier.
fg(x) = E²(x) – E(x) est une fonction en escalier.

6.     Soit f(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f|(x) = E(x), ∀ x ∈ [-2 ;2].
|f| est une fonction en escalier.